Chapitre 3
Balistique extérieure
Le vol d'une flèche

La balistique extérieure est l'étude du vol d'un projectile depuis la sortie de son arme jusqu'à l'impact. Elle s'applique plus communément aux balles de fusils, aux missiles balistiques mais elle peut aussi s'appliquer aux flèches. Il est intéressant de connaitre la trajectoire de vol d'une flèche et des différentes forces et paramètres qui l'influent afin de maitriser les réglages appropriés pour chaque configuration de tir.

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Droit au but!

On pourrait penser qu'il suffit d'aligner la flèche sur l'axe de la cible pour qu'elle aille se planter en plein dans le mille!
Oui cela serait aussi simple si notre terrain de tir se trouvait dans l'espace, quelque part entre deux galaxies ...
Mais sur le plancher des vaches, notre bonne vieille Terre nous joue des tours. Des forces mystérieuses viennent modifier la trajectoire de notre flèche.

graphique représentant la trajectoire d'une flèche

L'accélération

En physique l'accélération est un changement de la trajectoire d'un objet au cours du temps. Cela se traduit par un changement de vitesse durant d'un laps de temps.

Habituellement par "accélération" nous comprenons une augmentation de la vitesse, et inversement par "décélération" une diminution de la vitesse. Mais en physique on différencie ces deux états par leur signe positif ou négatif. Si l'accélération est négative, il s'agit d'une diminution de vitesse et inversement.

Dans notre cas, la trajectoire de la flèche est modifiée par deux types d'accélérations:

  • la gravité, pesanteur ou attraction terrestre. La flèche est attirée par la Terre, comme les gouttes de pluie ou les pommes qui tombent de l'arbre.
  • la résistance de l'air. Notre flèche est freinée par la densité de l'air environnante. On comprend aussi que plus notre flèche sera aérodynamique et moins elle sera freinée par l'air et inversement.

Le vent est aussi un paramètre qui peut modifier la trajectoire de notre flèche, et comme il est variable, je vous laisse imaginer la complexité des calculs auxquels sont confrontés nos ingénieurs en balistique! [1] De plus, comme la Terre n'est pas plate mais bien ronde, pour des tirs à longue distance, nos ingénieurs doivent également tenir compte de la courbure terrestre. Comme dirait l'autre "à chacun son métier", nous nous sommes des archers en herbe.

Pour l'étude de la trajectoire de notre flèche, je me limite à la gravité et à la résistance de l'air ... donc un tir en salle.

À cause de l'influence de la gravité et de la résistance de l'air, la trajectoire de la flèche formera une courbure. Pour compenser les effets de ces accélérations, l'archer devra incliner l'axe de sa flèche vers le haut pour atteindre le centre de la cible. L'archer ajuste son angle de tir.

influence de la vitesse sur la trajectoire d'une flèche

Pour des conditions de tir identiques, flèches identiques, même poids:

  • Si la vitesse initiale de la flèche est lente, alors la courbure de la trajectoire sera prononcée et l'angle de tir sera grand.
  • Si la vitesse initiale de la flèche est rapide, alors la courbure de la trajectoire sera aplatie et l'angle de tir sera petit.

Pour mieux comprendre ce phénomène, par analogie je me réfère à l'exemple du tuyau d'arrosage. Je souhaite arroser les plantes de mon jardin depuis un point fixe. Je dois augmenter l'inclinaison de la buse de mon tuyau d'arrosage afin que le jet d'eau puisse atteindre les plants les plus éloignés. On voit bien que le jet d'eau forme une courbure. En modifiant la pression du jet d'eau, alors la portée d'arrosage change. Plus la pression est forte et moins j'ai besoin d'incliner la buse d'arrosage pour atteindre les plants les plus éloignés.

Pour les arcs équipés de viseur, l'archer règle la hauteur de l'œilleton ou du scope pour ajuster son angle de tir. S'il monte l'œilleton il réduit son angle de tir, et s'il descend l'œilleton il augmente son angle de tir. Selon les distances de tir, il est nécessaire d'ajuster son angle de tir. Pour des cibles placées à 50m, il faut logiquement augmenter son angle de tir et donc descendre l'œilleton du viseur.

Modèle mathématique

Nous savons que le vol de notre flèche aura une allure parabolique pour atteindre sa cible, mais peut-on la déterminer avec exactitude? peut-on la tracer?

Plutôt que de nous aventurer dans des développements mathématiques complexes, je propose une approche beaucoup plus digeste. Nous allons créer un modèle mathématique [2] cohérent regroupant des petites fonctions simples qui s'imbriquent les unes dans les autres. Grace à un simple tableur, nous allons reconstituer point par point la trajectoire de notre flèche. Voici notre schéma de principe:

modèle mathématique du vol d'une flèche

1) Vitesse:

Équation de la vitesse par rapport à vx et vy
Conditions initiales:
et
[m/s], vitesse initiale de la flèche
[°], angle de tir
et [m], coordonnées du point de départ de la flèche
Projection de sur les axes x et y du repère orthonormé Oxy [m]:

2) Accélération:

Loi de Newton: [3]
[m/s2], accélération instantanée
[N], somme des forces exercées sur le centre de gravité de la flèche
[kg], masse de la flèche
Inventaire des forces exercées sur la flèche:
avec:
, force de gravité [4]
, force de résistance de l'air [5]
[m/s2], accélération gravitationnelle
[kg], masse de la flèche
, coefficient aérodynamique
[kg/m3], masse volumique de l'air (varie avec la température et la pression)
[m2], Aire de la section de la flèche faisant face à la résitance de l'air
[m/s], vitesse de déplacement de la flèche

Remarquez le signe négatif devant les équations de FG et de FA, cela indique qu'il s'agit bien de forces qui freinent la vitesse de la flèche.

Projection des forces sur les axes x et y:
où:
et sont les rapports angulaires de v par rapport à x et y. Comme la force de résistance de l'air FA s'oppose à la vitesse v, elle a proportionnellement le même rapport angulaire.
Projection de l'accélération sur x et y:
où:
ax et ay sont les projections de l'accélération instantanée a sur les axes x et y.
Comme la force d'attraction terrestre FG est toujours verticale, sa projection sur l'axe x est nulle.

3) Temps:

Le vol de la flèche durera quelques dixièmes de secondes voir plusieurs secondes selon la distance à atteindre. Nous allons décomposer ce temps de vol en de minuscules laps de temps dt et calculer comment évoluent la vitesse et la distance en fonction de l'accélération. Comme on se basera sur de minuscules laps de temps dt alors les distances parcourues seront elles aussi minuscules. On les notera dx et dy. Et durant ce même minuscule laps de temps dt les variations de vitesses seront également minuscules. On les notera dvx et dvy. Plus ce laps de temps dt sera petit et plus précise sera la résolution de notre trajectoire de vol !

Voici nos minuscules variations de vitesse durant un laps de temps dt:
et nos minuscules distances parcourues durant un laps de temps dt:
pour ces deux dernières équations une explication s'impose:
est la vitesse de la flèche au début du laps de temps dt.
est la vitesse de la flèche à la fin du laps de temps dt.
est la vitesse moyenne de la flèche durant le laps de temps dt.
il faut utiliser la vitesse moyenne pour le calcul de et !
Évolution de la distance et de la vitesse:
Explications:
Par ...(t) il faut comprendre, valeur au début du laps de temps dt actuel.
Par ...(t-1) il faut comprendre, valeur au laps de temps dt précédent.

Voilà, à présent nous avons tous les ingrédients pour calculer et tracer la trajectoire de notre flèche.

Trajectoire d'une flèche

À ce stade, nous avons accumulé quelques formules. Elles peuvent être utilisées telles quelles, il n'y a rien de plus à transformer. On sent qu'elles s'imbriquent les unes dans les autres. Un tableur est l'outil parfait pour ce type de travail.

Dans un coin de la feuille de calcul on définit les différentes constantes. Pour des raisons de lisibilité, de compréhension, il est recommandé de nommer ces constantes. Excel dispose pour cela d'un "gestionnaire de noms" que l'on trouve sous l'onglet "FORMULES". Notez également que les angles utilisés dans les formules trigonométriques dans Excel sont exprimés en radian. Il conviendra de convertir les degrés en radians, .

calcul de la trajectoire, les variables

Puis, il suffit de créer les colonnes représentant les différentes variables de notre modèle mathématique (x, y, vx, vy, v, FA, FAx, FAy, ax, ay, dvx, dvy, dx, dy) et d'appliquer scrupuleusement les formules que nous avons énuméré plus haut en imbriquant les variables entre elles.

Remarquez les conditions initiales à t = 0:

Toutes les autres formules se répètent. 1 ligne de calcul correspond à un point (x,y) de la courbe. Donc ajuster le nombre de ligne selon la résolution souhaitée.

calcul de la trajectoire - les formules mathématiques

Ajuster dt

La précision de la résolution dépend du laps de temps dt. Dans cet exemple j'ai volontairement pris un grand angle de tir pour bien représenter la forme spécifique de la trajectoire du projectile. Mais dans la pratique, les angles de tir sont bien plus petits pour des distances de tir inférieures à 100m. Les temps de vol de la flèche sont souvent inférieurs à 1s (voir un peu plus pour des arcs moins rapides). Il convient dont de bien définir la valeur de notre laps de temps dt pour avoir une précision de calcul suffisante. Un dt = 0.02s pour un temps de vol d'1 seconde, cela correspond à 50 points (x,y) ce qui est insuffisant. Un dt = 0.002s serait plus convenable, cela représenterait 500 points (x,y). Donc ajuster convenablement la valeur de dt en fonction du temps que mettra la flèche pour se planter dans la cible.

Déchiffrer les informations

Pour lire sur notre feuille de calcul quelle est la portée maximale de tir d'une configuration spécifique, il suffit de lire la valeur de x quand le signe de y devient négatif.
Cette feuille de calcul permet de répondre à de nombreuses questions, la seule limite est notre imagination:

  • quelle est la hauteur de tir maximale?
  • quel est le temps de vol de ma flèche?
  • quel est l'angle de tir pour atteindre ma cible placée à 30m?
  • avec ce même angle de tir, à combien de centimètre du centre sera plantée ma flèche si la cible se trouve à 50m?
  • quel est la différence d'angle de tir entre une cible placée à 30m et une cible placée à 50m?
  • etc.

graphique de la trajectoire d'une flèche

Ajuster le modèle

Selon que nous pratiquons le tir à l'arc en plein désert ou au sommet de l'Everest, les conditions de tir ne sont pas identiques. La température, la pression , la densité de l'air ne sont pas les même, et la trajectoire de notre flèche peut varier. Il faut ajuster notre modèle mathématique à la réalité.

Nous avons vu que la force de résitance de l'air dépend de trois constantes, le coefficient aérodynamique Cx, la densité de l'air rho et l'aire de la section de la flèche A. Nous pouvons réduire ce nombre de variables en les regroupant . Il suffit de déterminer la valeur de cette résultante k, pour ajuster au plus près notre modèle mathématique.
Par exemple avec une machine de tir, on vise le centre d'une cible placée à 50m et on chronomètre le temps que parcourt la flèche entre le décochage et le plantage en cible. Puis on ajuste le coefficient en conséquence pour obtenir le même temps de vol sur notre feuille de calcul.

Restons réfléchi !

Il faut bien comprendre ce que nous faisons en changeant les valeurs des constantes. On ne peut rien casser, il s'agit d'un outil de simulation, mais les résultats peuvent être inattendus. Par exemple, que ce passera-t-il si je modifie la masse de la flèche qui est de 22.7 grammes, à 1 kilogramme ? Je m'apperçois que la flèche vole plus loin ... bizarre, une flèche beaucoup plus lourde vole beaucoup plus loin ! ... le modèle mathématique proposé est incohérent !!! Euh j'ai certainement fait une erreur d'interprétation. Réfléchissons, une flèche ayant une masse de 1kg ET ayant une vitesse initiale Vo = 100m/s, est-ce cohérent ? Rappelons-nous = 5000 joules! Nous avons vu dans le chap.2, notre arc développe environ 100 joules tout mouillé. Si j'ajuste le poids de ma flèche cela a une incidence sur la vitesse initiale car la puissance de mon arc ne change pas ! ... je peux aussi m'imaginer qu'une flèche plus lourde est peut-être plus volumileuse ? le Cx a-t-il changé ?

Bonus

trajectoireFleche_v1.xls (Excel, 454 Ko)

Références

  1. Wikipedia, Balistique. 07/10/2016.
  2. Memoire de Jasmin Ludwig du 14/09/2012, encadrant: Prof. Dr. Thomas Wilhelm, Vergleich verschiedener Modellbildungssysteme (Comparaison de systèmes de modélisation mathématique), Kapitel 6 - Der schiefe Wurf mit Luftreibung (Zeite 81 bis 86). Consulté le 10/10/2016.
  3. Wikipedia, Deuxième loi de Newton, Lois du mouvement de Newton. 21/08/2016.
  4. Wikipedia, Pesanteur. 23/09/2016.
  5. Wikipedia, Coefficient de traînée. 27/04/2016

Mots clés : balistique, vitesse