Chapitre 2
Calculer l'efficacité de son arc

Je peux lire « IBO Rating up to 336 fps » dans le tableau des caractéristiques techniques publiées par le constructeur de mon arc à poulies. Mes flèches volent à une vitesse de 336 foot/s soit 368 km/h. Wouaw mon compound est une vraie bête de course !… mais qu’en est-il en réalité ?
Comment interpréter les caractéristiques fournies par les constructeurs ? Comment mesurer la puissance de mon arc. Comment évaluer la vitesse d’une flèche ? Comment déterminer l’efficacité de mon compound ? Essayons de trouver les réponses à ce flot de questions.

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Une méthode

Il y a certainement mille façons d’évaluer les performances de son arc. Je me suis basé sur une méthode publiée en 1975 par Norbert F. Mullaney [1], et qui me semble être aujourd’hui encore tout aussi crédible. Que donne ce test sur mon compound ? Quels mystères me seront dévoilés ?

Unités de mesure

90% du marché de l’archerie est anglo-saxon. Ces pays utilisent les unités de mesure anglaises. Pour une meilleure compréhension, je choisis d’indiquer les valeurs dans le système international d’unité SI [2] qui m’est plus familier.

Partie 1 : Énergies statiques

Energie accumulée

L’énergie accumulée est déterminée à l’aide de la courbe de force-allonge. Avec un peson, on relève la force de traction sur la corde, à intervalle régulier, jusqu’à pleine allonge.

1) on obtient le tableau 1 suivant :
tableaux de valeur force-allonge

2) tableau 2, les valeurs sont converties dans le système d'unité SI. Les longueurs sont exprimées en mètre et les forces en Newton. et . Ce sont ces valeurs que j'ai utilisé pour construire le graphique 1

Pour l'exemple et à titre de comparaison, les valeurs converties dans le tableau 3 sont en unité anglaise. et
Peu importe le système d'unité utilisé, la courbe force-allonge "Force-Draw Curve" sera exactement la même !
Vous l'avez certainement remarqué, le graphique 1 commence à 0.18m (soit 7 pouces). Cela correspond au band de l'arc. 0.72m (soit 28 pouces) est la pleine allonge.

Graphique 1 :
graphique force-allonge

L'énergie accumulée correspond à la surface située entre la courbe et l'axe des abscisses. En mathématique il s'agit de l'intégration [3] de la courbe, de 0 jusqu'à la pleine allonge. Le calcul est simple à faire, il suffit de calculer l'énergie accumulée de chaque segment, puis de les additionner.

Graphique 2 :
graphique énergie accumulée

L'énergie accumulée d'un segment est la valeur moyenne de a et b multipliée par la largeur du segment (pas). Le résultat obtenu est une énergie dont l'unité est le joule [J].

Pas besoin d'ordinateur pour faire cette intégration, une simple feuille de papier et une calculette suffisent.
On obtient le résultat suivant :

tableau de calcul de'énergie accumulée

Quand cet arc est armé jusqu'à pleine allonge (ici 0.72m soit 28 pouces), il accumule une énergie de 88 joules. On peut également noter que le pic (force maximale) de la courbe force-allonge est de 218N. Pour un arc à poulies, le pic se situe vers le milieu de la courbe, pour les autres types d'arc, le pic maximal sera atteint à pleine allonge.

Rendement

Lors du choix d'un arc, notre intérêt est que celui-ci accumule le plus d'énergie possible pour une force maximale donnée. On aimerait bien connaitre la valeur de ce rapport. Il s'agit en fait du rendement de l'arc.
Application pratique en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus:

Cycle d’hystérésis

Dans tout système mécanique naissent des phénomènes de frottement entre les pièces fixes et les pièces mobiles. Lors de la décoche, notre arc subit des pertes d'énergie plus ou moins importantes en fonction de sa configuration et du type d'arc. Par exemples, ces pertes peuvent être dues en partie à l'élasticité (flexion) des branches, aux frottements cordes-poulies poulies-axes, etc. On peut visualiser les pertes d'énergie de notre arc en traçant sa courbe d'hystérésis.
Des pertes d'énergie statique existent aussi pour les arcs classiques. Elles sont toutefois moins conséquentes que sur des arcs à poulies et sont difficilement mesurables avec la précision des pesons que l'on trouve habituellement dans le commerce.

Comment procède t-on pour mesurer cette boucle d'hystérésis ?
Avec un peson, on relève la force de traction sur la corde, à intervalle régulier, depuis le band jusqu’à pleine allonge.
Puis dans le sens inverse, on relève la force de traction sur la corde, à intervalle régulier, depuis la pleine allonge jusqu'au band.

Graphique 3 :
courbe d'hystérésis

L'énergie disponible est calculée avec la même méthode utilisée pour calculer l'énergie accumulée .
Efficacité statique [%]:

Partie 2 : Performances de tir

Energie cinétique

En armant notre arc, celui-ci accumule de l'énergie. Lors du décochage, l'énergie est restituée à la flèche sous forme de vitesse de propulsion. L'énergie cinétique tient compte de l'énergie disponible que nous venons d'évaluer ET des pertes cinétiques dues par exemple, aux frictions, rotations, vibrations des systèmes de poulies et cordes, au recul, aux resistances de l'air sur la corde, sur la flèche, à la décoche de la flèche, au frottement de la flèche sur son repose-flèche, etc. L'énergie cinétique , c'est toute l'énergie restituée à la flèche.

avec

La vitesse de la flèche

La vitesse d'une flèche est un facteur important. Elle détermine la trajectoire de la flèche. Moins vite va la flèche et moins loin elle ira. Moins vite va la flèche et plus courbé sera sa trajectoire, donc trajectoire plus longue et moins bonne précision de tir. La vitesse de la flèche est déterminante dans la balistique. Dans ce domaine, d'autres paramètres sont tout aussi déterminant, dont logiquement le poids ou la forme aérodynamique de la flèche.

Il existe différentes méthodes pour mesurer la vitesse d'une flèche. (arrow speed chronograph).

  • Par effet doppler, c'est le principe du radar. Un faisceau d'onde est projeté vers la flèche. Un petit boitier mesure le décalage de temps entre l'emission et la reception du et nous indique la vitesse. (radarchron)
  • Par barrage photo-électrique. La flèche coupe deux barrières lumineuses espacées l'une par rapport à l'autre par une distance connue. Un chronomètre démarre dès le passage de la première barrière et est stoppé au passage de la deuxième barrière. Un affichage indique la vitesse de la flèche. (Shooting Chrony)
  • Par la vitesse du son, 337 mètres par seconde. On enregistre le son d'une séquence de tir à l'aide de son smartphone. Sur la bande sonore, on mesure le temps entre le son caractéristique "clac" émis au décochage et le "toc" perçu quand la flèche se plante dans la cible. La distance de la cible étant connue, notre smartphone nous indique la vitesse de la flèche. (Achrono pour iPhone)

Naturellement chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients. J'ai opté pour la solution "smartphone" car elle est financièrement la plus abordable (moins d'un euro), elle est pratique, intuitive et précise, elle tient compte de l'aérodynamisme de la flèche. Inconvénient, en extérieur, la flèche peut être ralentie par le vent. La mesure ne peut se faire que si l'on tire seul afin de bien identifier les bruits de ses propres séquences de tir.

Application numérique :

Fiabilité de la mesure de vitesse

Pour garantir une certaine précision dans les mesures [4], il faudra répéter la même mesure plusieurs fois. En statistique on parle d'un échantillon de mesures, par exemple un échantillon de 10 mesures. La valeur moyenne caractérise moyennement cet échantillon.
Pour vérifier la fiabilité de cet échantillon il faut vérifier un indicateur complémentaire qui indique la dispersion des données autour de la moyenne, il s'agit de l'écart-type "sigma". Plus sigma sera petit et plus l'échantillon de mesure sera fiable, et inversement.
Le calcul est simple :

Efficacité de l'arc

La valeur de l'énergie n'est pas intéressante en soi mais elle permet de calculer l'efficacité réelle de notre arc.

Application numérique:

La masse virtuelle

À présent, nous savons évaluer l'efficacité réelle de notre arc pour une configuration d'arc déterminée et pour un poids de flèche déterminé. Il serait intéressant de savoir ce qu'il se passera si nous changeons le poids de notre flèche pour cette configuration d'arc précise. Quelle sera l'incidence sur la vitesse de la flèche ? Quelle sera l'efficacité correspondante ?
L'idée de Paul Klopsteg [5] est d'introduire une masse virtuelle dans son modèle mathématique. Une masse virtuelle qui se déplace à la vitesse de la flèche et qui représente toutes les pertes d'énergie générées par l'arc.
En voici le principe :

est la masse virtuelle de Paul Klopsteg
et
Application numérique :

Calcul de la vitesse de la flèche en fonction de son poids

On arrange la formule suivante :
Ne pas oublier de convertir les grains [gr] en kilogramme [kg] !
Application pratique :

tableau en fonction de la vitesse et du poids de la flàche

Calcul de l'efficacité de l'arc en fonction du poids de la flèche

On arrange la formule suivante :
Application pratique :

tableau en fonction du poids de la flàche et de l'efficacité

Standard IBO

Quand est-il des vitesses annoncées par les constructeurs, mon arc n'est pas aussi rapide !
Les constructeurs se conforment au standard IBO définissant les paramètres de test suivants :

  • Puissance de l'arc: 70 lbs
  • Poids de la flèche: 350 grains (soit 5 grains par lbs)
  • Allonge: 30 in

En Bref!

  • En armant mon arc celui-ci accumule une certaine quantité d'énergie. Le relevé de la courbe force-allonge me permet de calculer l'énergie accumulée. Comme pour tout système mécanique, il y a des pertes statiques. Seule une partie de cette énergie est disponible.
  • Pour évaluer la quantité réelle d'énergie cinétique transmise à notre flèche, il faut mesurer sa vitesse à l'aide d'un chronographe.
  • L'efficacité réelle de mon arc, c'est le rapport entre la quantité d'énergie cinétique divisée par la quantité d'énergie accumulée.
  • La masse virtuelle matérialise toutes les pertes de ma configuration arc-flèche. Je peux ainsi créer un modèle mathématique afin d'évaluer le meilleur compromis poids de la flèche et puissance ou poids de la flèche et efficacité de l'arc.
  • Connaitre toutes ces informations ne fera pas de moi un meilleur archer mais me permettra de mieux comprendre le fonctionnement de mon arc et mieux savoir le configurer.

Références

  1. Norb Mullaney, How and Why Archery World Bow Test are Conducted, Archery World - édition 1975. Consulté le 10/10/2016.
  2. Wikipedia, Système international d'unités, 09/09/2016.
  3. Wikipedia, Intégration (mathématiques), Méthodes numériques, 26/07/2016.
  4. Neamar, La moyenne et l'écart type. Consulté le 10/10/2016.
  5. Technical Archery - Whitney King a publié le 10/07/2011, Virtual Mass - The key to understanding arrow speed., Paul E Klopsteg en 1943. Consulté le 10/10/2016.

Mots clés : efficacité, énergie, vitesse, IBO